Ред на Фурие


Категория на документа: Други


Лекция 10
Ред на Фурие. Фурие преобразование. Свойства на Фурие преобразованието.

Цел на лекцията
1. Да даде пример за приложениe на Фурие преобразованието и свързаните с него въпроси във физичните задачи.
2. Да представи реда на Фурие за периодични функции и на практика да се види как редът се приближава до функцията
3. Да се види как от реда на Фурие за периодични функции може да се премине към преобразование на Фурие за непериодични функции
4. Да се разгледат свойствата на Фурие преобразованието.

I.Взаимодействие на сигнали с физични прибори. Конволюция.
Нека на входа на RC веригата показана на Фиг.1 се подава сигнал Vin и се търси изходния сигнал Vout. Задачата се решава като се приложат законите на Кирхоф.

R

a b

Vin Vout

C

Ще предположим, че токът тече по часовниковата стрелка. Токът, който "изтича" (т.е взима се със знак плюс) от точката b е:

, (1)
а този, който се "втича" (взима се със знак минус) е:

(2)
Съгласно първия закон на Кирхоф сумата от токовете в дадена възлова точка взети със своя знак е нула, т.е.

iC=iR (3)
Обикновено потенциалът в точката с се приема за нула. Тогава потенциалът в точка а е Vin, а потенциалът в точка b е Vout и от (1), (2) и (3) получаваме:

. (4)
Уравнение (4) е обикновено линейно нехомогенно уравнение от първи ред. Както се знае общото решение на такова уравнение е сума от общото решение на хомогенното уравнение и едно частно решение на нехомогенното. Общото решение на хомогенното уравнение е:

, (5)
а частното се намира по метода на вариациите на константата - търсим частно решение от вида:

. (6)
Като заместим (6) в (4) получаваме:

, или (7)
Окончателно за общото решение на (4) получаваме:

(8)
Когато изходното напрежение клони към нула и оттук следва, че константата С1 е нула. Да разгледаме случая, когато Vin има формата на единичен импулс δ(τ). Тогава:

. (9)
Формула (9) показва, че ако в даден момент на входа на четириполюсника показан на Фиг.1 се приложи единичен импулс изходното му напрежение затихва по експоненциален закон. По-общо, откликът на произволен четириполюсник на единичен импулс на входа му се нарича импулсна характеристика r(t).В конкретния случай r(t) се дава с (9). Използвайки понятието импулсна характеристика (8) може да се запише както следва:

(10)
В (10) горната граница е разширена до безкрайност, като предполагаме, че за времена по-гoлеми от t входното напрежение е нула. Това допускане означава, че не е възможно следствието да изпреварва причината. Интегралът в дясно в (10) показва, че изходния сигнал е конволюция на входния сигнал и импулсната характеристика на апарата. Това е вярно в общия случай: изходния сигнал на даден уред (електронен, оптичен и др.) е конволюция на входния сигнал и импулсната характеристика. Това съотношение се записва още така:



Сподели линка с приятел:





Яндекс.Метрика
Ред на Фурие 9 out of 10 based on 2 ratings. 2 user reviews.